题目内容

【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.

(1)求证:DEC≌△EDA;(2)求DF的值;(3)在线段AB上找一点P,连结FP使FPAC,连结PC,试判定四边形APCF的形状,并说明理由,直接写出此时线段PF的大小

【答案】(1)证明过程见解析;(2)DF=;(3)PF=

【解析】

试题分析:(1)根据矩形的可得AD=BC,AB=CD,根据折叠图形可得BC=EC,AE=AB,则可得AD=CE,AE=CD,从而得到三角形全等;(2)、设DF=x,则AF=CF=4-x,根据RtADF的勾股定理求出x的值;(3)、根据菱形的性质进行求解.

试题解析:(1)、矩形ABCD AD=BC,AB=CD,ABCD ∴∠ACD=CAB

∵△AECABC翻折得到 AB=AE,BC=EC, CAE=CAB AD=CE,DC=EA,ACD=CAE,

ADECED ∴△DEC≌△EDA(SSS);

(2)如图1,∵∠ACD=CAE, AF=CF, DF=x,AF=CF=4x,

RTADF,AD2+DF2=AF2 32+x2=(4x)2 解得;x= DF=

(3)四边形APCF为菱形 设AC、FP相较于点O FPAC ∴∠AOF=AOP

∵∠CAE=CAB, ∴∠APF=AFP AF=AP FC=AP

ABCD 四边形APCF是平行四边形 FPAC 四边形APCF为菱形 PF=

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