Question

【题目】如图，在ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证法一：连接AC，如图．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，

∴∠ACF=∠ACE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠DAC=∠ACB．

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC，

∴四边形ABCD是菱形．

证法二：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

又∵AE=AF，

∴△AEB≌△AFD．

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）解：连接AC，如图．

∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF=60°，

∴∠ECF=120°，

∵四边形ABVD是菱形，

∴∠ACF=60°，

在Rt△CFA中，AF=CFtan∠ACF=2

【解析】（1）方法一：连接AC，利用角平分线判定定理，证明DA=DC即可；方法二：只要证明△AEB≌△AFD．可得AB=AD即可解决问题．（2）在Rt△ACF，根据AF=CFtan∠ACF计算即可．
【考点精析】利用平行四边形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．