Question

【题目】如图，CD为⊙O的直径，弦AB垂直于CD，垂足为H，∠EAD=∠HAD．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）延长AE与CD的延长线交于点P，过D 作DE⊥AP，垂足为E，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OA，如图所示．

∵AB⊥CD，

∴∠AHD=90°，

∴∠HAD+∠ODA=90°．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA．

又∵∠EAD=∠HAD，

∴∠EAD+∠OAD=90°，

∴OA⊥AE．

又∵点A在圆上，

∵AE为⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，

OA2+AP2=OP2，即x2+22=（x+1）2，

解得：x=1.5，

∴⊙O的半径为1.5．

∵DE⊥AP，OA⊥AP，

∴OA∥DE，

∴△PED∽△PAO，

∴ = ，即 = ，

解得：DE= ．

【解析】（1）连接OA，根据垂线的定义结合角的计算，即可得出∠EAD+∠OAD=90°，从而得出OA⊥AE，再由点A在圆上，即可证出AE为⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，利用勾股定理可求出x的值，再由DE⊥AP，得出OA∥DE，进而可得出△PED∽△PAO，根据相似三角形的性质即可求出DE的长度．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．