题目内容
【题目】下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为
”的尺规作图过程.
已知：
.求作：矩形
，使得矩形内接于，且其对角线
的夹角为.
作法：如图，
①作的直径
；
②以点
为圆心，
长为半径画弧，交直线上方的圆弧于点
；
③连接
并延长交于点
；
④连接
.
所以四边形就是所求作的矩形,根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）.
（2）完成下面的证明.
证明：∵点
都在上，
∴
.
同理
.
∴四边形是平行四边形.
∵是的直径，
∴
（ ）（填推理的依据）.
∴四边形是矩形.
∵
，
∴
.
∴四边形是所求作的矩形.
【答案】（1）见解析；（2）直径所对圆周角为直角，
.
【解析】
（1）根据作法画出对应的几何图形即可；
（2）先根据圆的基本性质得OA=OA，OB=OD，从而可以判断四边形ABCD是平行四边形．再根据直径所对的圆周角是直角得
，从而可得四边形ABCD是矩形.
（1）如图，四边形ABCD为所作；
（2）完成下面的证明.
证明：∵点
都在
上，
∴
.
同理
.
∴四边形
是平行四边形.
∵
是的直径，
∴（直径所对圆周角为直角）.
∴四边形是矩形.
∵
AO
，
∴
.
∴四边形是所求作的矩形.
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