题目内容
【题目】如果一个三位正整数A与另一个三位正整数B相加得到三位数C，C的三个数位上的数字都相同，我们就称三位正整数A和三位正整数B互为“影子数”如：191+253＝444，191+475＝666…，所以191和253互为“影子数”，同时191和475也互为“影子数”，475和253都是191的“影子数”．
（1）若一个三位正整数M是67的倍数，它比它的一个“影子数”小107，求这个三位数M；
（2）若将一个三位正整数
的十位和百位交换位置后组成的三位数是
，且是的“影子数”，若﹣＝540，求证：b＝c+3．
【答案】（1）335；（2）见解析
【解析】
（1）因为这个数与它的影子数之和最大为999，而影子数比它大107，所以可以判断出来这个数不能超过446，所以67的倍数关系应该不超过402，将大于100而小于402的67的倍数逐一进行判断即可．
（2）根据“影子数”的定义求出a、b、c之间的关系式代入题中给定的等式求出．
解；（1）∵这个数与它的影子数之和最大为999，而影子数比它大107，
∴可以判断出来这个数不能超过
，
又∵M是67的倍数，M为三位数
∴M是大于100且不超过402的67的倍数
故M= 134或201或268或335或402
∴当M=134时，M+107=134+107=241，故2M+107=375，不符合题意，
当M=201时，M+107=201+107=308，故2M+107=509，不符合题意，
当M=268时，M+107=268+107=375，故2M+107=643不符合题意，
当M=335时，M+107=335+107=442，故2M+107=777，符合题意，
当M=402时，M+107=402+107=509，故2M+107=911，不符合题意，
∴M为335．
（2）证明：∵
和
互为影子数，所以a＝2c﹣b，
∵﹣＝540，
∴100b+10（2c﹣b）+c＝540+100（2c﹣b）+10b+c，
∴180b﹣180c＝180（b-c）=540，
∴b﹣c＝3，
∴b＝c+3．
