Question

正方形ABCD的边长为1，E、F两点分别位于BC、CD上，DF=m，BE=n，∠EAF=45°，△EFC的内切圆的半径为r．
（1）证明：EF=m+n；
（2）证明：（m+1）（n+1）=2；
（3）若m＜n，r=

1

6

求m、n的值．

Answer 1

分析：（1）作出辅助线，证出△AGB≌△AFD，根据全等三角形的性质求出AG=AF，∠GAB=∠FAD，再进一步证出
再证出△EAG≌△EAF，得到EG=EF，然后即可求出EF的长．
（2）找到Rt△FEC，将各边用含m的代数式表示，利用勾股定理解答．
（3）根据三角形的面积相等列出关于m、n的等式，结合（2）的结论，即可求出m、n的值．

解答：（1）证明：延长CB至G，使BG=DF，连接AG．
在△AGB和△AFD中，
∵AB=AD，∠ABG=∠ADF，BG=DF，
∴△AGB≌△AFD，
∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=∠BAE+∠GAB=45°，
∴∠EAG=∠EAF=45°，
在△EAG和△EAF中，
∵AE=AE，∠EAG=∠EAF，AG=AF，
∴△EAG≌△EAF，
∴EG=EF，
又∵EG=EB+BG=BE+DF=n+m，
∴EF=m+n．

（2）在Rt△FEC中，
∵EF²=CE²+CF²，
∴（m+n）²=（1-n）²+（1-m）²，
展开整理得mn+m+n=1，
两边同加上1，左边因式分解得（m+1）（n+1）=2．

（3）∵S_△EFC=

1

2

（CE+CF+EF）r，
∴当r=

1

6

时得，

1

2

（1-m）（1-n）=

1

2

[（1-m）+（1-n）+（m+n）]×

1

6

，
整理得（1-m）（1-n）=

1

3

，
结合第2问结论：
（m+1）（n+1）=2消元得m=

1

2

，n=

1

3

；m=

1

3

，n=

1

2

．
∵m＜n，
∴m=

1

3

，n=

1

2

．

点评：此题是一道圆、正方形和三角形相结合的题目，综合性较强．
（1）解答此小题时，要运用全等三角形的知识；
（2）运用勾股定理是解答此题的关键；
（3）根据三角形的面积不变列出等式是常用的解答此类问题方法．