题目内容

已知二次函数y=a（x+p）2+4的图象是由函数y=
1
2
x2+2x+q的图象向左平移一个单位得到．反比例函数y=
m
x
与二次函数y=a（x+p）2+4的图象交于点A（1，n）．
（1）求a，p，q，m，n的值；
（2）要使反比例函数和二次函数y=a（x+p）2+4在直线x=t的一侧都是y随着x的增大而减小，求t的最大值；
（3）记二次函数y=a（x+p）2+4图象的顶点为B，以AB为边构造矩形ABCD，边CD与函数y=
m
x
相交，且直线AB与CD的距离为
5
，求出点D，C的坐标．
分析：（1）先将函数y=
1
2
x2+2x+q配方，即可得到顶点坐标（-2，q-2），根据平移的性质可得a=
1
2
，p=3，q=6，再把x=1，y=n代入y=
1
2
(x+3)2+4，把x=1，y=12代入y=
m
x
可求m，n的值；
（2）根据反比例函数的增减性，二次函数y=
1
2
(x+3)2+4的对称轴和增减性，即可求得t的最大值；
（3）过点A作直线l∥x轴，作DF⊥l于F，BE⊥l于E．，根据勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，即可求得点D，C的坐标．
解答：解：（1）y=
1
2
x2+2x+q=
1
2
(x2+4x)+q=
1
2
(x+2)2+q-2，顶点坐标（-2，q-2）
（或用顶点坐标公式）
∴a=
1
2
，p=3，q=6，
把x=1，y=n代入y=
1
2
(x+3)2+4得n=12；
把x=1，y=12代入y=
m
x
得m=12；

（2）∵反比例函数y=
12
x
在图象所在的每一象限内，y随着x的增大而减小
而二次函数y=
1
2
(x+3)2+4的对称轴为：直线x=-3
要使二次函数y=
1
2
(x+3)2+4满足上述条件，x≤-3
∴t的最大值为-3；

（3）如图，过点A作直线l∥x轴，作DF⊥l于F，BE⊥l于E．
∵点B的坐标为（-3，4），A（1，12）
∴AE=4，BE=8
∵BE⊥l，
∴AB=
AE2+BE2
=4
5
；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠FAD=90°
∵BE⊥l于E，
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠FAD=∠EBA
∴Rt△EBA∽Rt△FAD
∴
AB
AE
=
AD
FD

又∵AD=
5
，
∴FD=1
同理：AF=2 
∴点D的坐标为（3，11）
同理可求点C（-1，3）．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：配方法的应用，平移的性质，反比例函数的增减性，二次函数的增减性，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（0，-1），D（2，3）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）也在该函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（　　）
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（2013•莒南县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
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其中正确的结论有（　　）
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a-b+c＜0；
③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根；⑤2a+b=0．其中，正确的说法有
②④⑤
②④⑤
．（请写出所有正确说法的序号）
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（5，0）
（5，0）
．

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