题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,AD= AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:
①∠AED=∠CED;
②OE=OD;
③BH=HF;
④BC﹣CF=2HE;
⑤AB=HF.
其中正确的有( )
A.①②③④⑤
B.①②③④
C.①③④⑤
D.①②③⑤
【答案】B
【解析】解:∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AE= AB,
∵AD= AB,
∴AE=AD,
在△ABE和△AHD中,
∴△ABE≌△AHD(AAS),
∴BE=DH,
∴AB=BE=AH=HD,
∴∠ADE=∠AED= (180°﹣45°)=67.5°,
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,
∴∠AED=∠CED,故①正确;
∵AB=AH,
∵∠AHB= (180°﹣45°)=67.5°,∠OHE=∠AHB(对顶角相等),
∴∠OHE=67.5°=∠AED,
∴OE=OH,
∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°,
∴∠DHO=∠ODH,
∴OH=OD,
∴OE=OD=OH,故②正确;
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°,
∴∠EBH=∠OHD,
在△BEH和△HDF中,
∴△BEH≌△HDF(ASA),
∴BH=HF,HE=DF,故③正确;
∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD,
∴BC﹣CF=BC﹣(CD﹣DF)=BC﹣(CD﹣HE)=(BC﹣CD)+HE=HE+HE=2HE.故④正确;
∵AB=AH,∠BAE=45°,
∴△ABH不是等边三角形,
∴AB≠BH,
∴即AB≠HF,故⑤错误;
综上所述,结论正确的是①②③④,
故选B.
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