Question

【题目】如图，二次函数的图象与轴交于两点，点位于、之间，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，点在轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①；②；③（其中为任意实数）；④，其中正确的是（ ）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0，利用对称轴方程得到x= =2，则4a+b+c=c>0，于是可对①进行判断；点位于、之间，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(1,0)右侧，则当x=1时，y<0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=2时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c4a+2b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，利用函数图象得x=5时，一次函数值比二次函数值大，即25a+5b+c<5+c，然后把b=4a代入解a的不等式，则可对④进行判断．

解：∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c>0．
∵抛物线的对称轴为直线x==2，∴b=4a，
∴4a+b+c=4a4a+c=c>0，故①正确．
∵当x=5时，y<0，且抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x=1时，y<0，∴ab+c<0，故②正确．
∵当x=2时，二次函数有最大值，

∴ax2+bx+c4a+2b+c，
∴ax2+bx4a+2b即x(ax+b)4a+2b，故③错误．
∵直线y=x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，
∴当x=5时，二次函数值小于一次函数值，即25a+5b+c<5+c，而b=4a，
∴25a20a<5，解得a<1，故④正确．
故选C．