题目内容

【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.点P为矩形外一点且满足AP=PC,AP⊥PC.PCAD于点N,连接DP,过点PPM⊥PDADM.

(1)若AP=,AB=BC,求矩形ABCD的面积;

(2)若CD=PM,求证:AC=AP+PN.

【答案】(1)3(2)AC=AP+PN

【解析】1∵AP⊥CPAPCP

∴△APC为等腰直角三角形

∵AP

∴AC.................1

∵ABBC

ABxBC3x

Rt△ABC

x2+(3x)2=10

10x2=10

x=1.................3

.................4

2)延长APCD交于Q

∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=900

∠CND=∠ANP

∴∠1=∠2

∠3+∠5=∠4+∠5=900

∴∠3=∠4

∵APCP

∴△APM≌△CPD

∴DPPM

∵CDPM

∴CDPD

∴∠1∠3

∠1+∠Q∠3+∠690°

∵∠1∠3

∴∠Q=∠6

∴DQ=DP=CD

∴DCQ中点

∵AD⊥CQ

∴ACAQAP+PQ

∵∠1∠2

∠APN∠CPQ900

AP=CP ∴△APN≌△CPQ

∴PQPN

∴ACAP+PQAP+PN.................10

1)由已知条件知△APC为等腰直角三角形,即可求得AC的长,再利用勾股定理求得ABBC的长,从而求得矩形ABCD的面积

2)延长APCD交于Q,通过角之间的等量关系,求得△APN≌△CPQ,得出PQPN,从而求得结论

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