Question

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；
（3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；
（4）根据当D为顶点，OD=OR₁=6时，当R₂为顶点，OR₂=DR₂时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可．
解答：解：（1）∵△PMN是等边三角形，
∴∠P₁M₁N₁=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠AP₁0=90°，
在Rt△AP₁O中，AP₁=AO=2，
∴t=，即t=2；

（2）∵△BPH∽△BAO，
∴，
∴PH=，
∵cos30°=，
∴PN===8-t，

（3）当0≤t≤1时，S₁=S_{四边形EONG}，
作GH⊥OB于H，如图3，
∵∠GNH=60°，GH=2，
∴HN=2，∵PN=NB=8-t，
∴ON=OB-NB，
∴ON=12-（8-t）=4+t，
∴OH=4+t-2=2+t，
S₁=（2+t+4+t）×2
=2t+6，
∵2＞0，
∴S随t增大而增大，
当t=1时，S_最大=8，
当1＜t＜2时，如图4，S₂=S_{五边形IFONG}，
作GH⊥OB于H，
∵AP₂=t
∴AF=2t，
∴OF=4-2t，
∴EF=2-（4-2t）
=2t-2，
∴EI=2t-2，
∴S₂=S_梯形EONG-S_△EFI
=2t+6-（2t-2）×（2t-2）
=-2t²+6t+4，
∵-2＜0，
∴当t=-=时
S_2最大=，
当t=2时，如图5，
MP=MN=6，
N与D重合，
S₃=S_梯形IMNG，
=×36-×4，
=8，
∴S=，
S_最大=，

（4）∵△ODR是等腰三角形，
①当D为顶点，OD=OR₁=6时，
DR₁=6-2＞2（不合题意舍去），
当D为顶点时，R₁不存在，
此时R₁不存在，使△ODR是等腰三角形，
②当R₂为顶点，OR₂=DR₂时，
R₂在EC的中点处，
∵AO=4，∠B=30°，
∴BO=12，
∵D为OB中点，
∴DO=EC=6，
∴ER₂=3，
∵OB=12，∠B=30°，
∴OP₂=6，
∴R₂P₂=3，
∴ER₂=P₂R₂=3，
∴CP₂=3，
∴AP₂=4-3=，
t₂==1，
③当O为等腰三角形顶角的顶点时，
CR₃=6-2，
CP₃=××2=6-6，
AP₃=4-（6-6），
=6-2，
∴t₃==2-2＞2（不合题意舍去）．
综上所述：t=1时，△ODR是等腰三角形．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识，（3）（4）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．