题目内容

如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO= $数学公式$ ，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒 $数学公式$ 个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵△PMN是等边三角形，
∴∠P₁M₁N₁=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠AP₁0=90°，
在Rt△AP₁O中，AP₁= $\text{[math]}$ AO=2 $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ ，即t=2；

（2）∵△BPH∽△BAO，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴PH= $\text{[math]}$ ，
∵cos30°= $\text{[math]}$ ，
∴PN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =8-t，

（3）当0≤t≤1时，S₁=S_{四边形EONG}，
作GH⊥OB于H，如图3，

∵∠GNH=60°，GH=2 $\text{[math]}$ ，
∴HN=2，∵PN=NB=8-t，
∴ON=OB-NB，
∴ON=12-（8-t）=4+t，
∴OH=4+t-2=2+t，
S₁= $\text{[math]}$ （2+t+4+t）×2 $\text{[math]}$
=2 $\text{[math]}$ t+6 $\text{[math]}$ ，
∵2 $\text{[math]}$ ＞0，
∴S随t增大而增大，
当t=1时，S_最大=8 $\text{[math]}$ ，
当1＜t＜2时，如图4，S₂=S_{五边形IFONG}，
作GH⊥OB于H，
∵AP₂= $\text{[math]}$ t
∴AF=2 $\text{[math]}$ t，
∴OF=4 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t，
∴EF=2 $\text{[math]}$ -（4 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t）
=2 $\text{[math]}$ t-2 $\text{[math]}$ ，

∴EI=2t-2，
∴S₂=S_梯形EONG-S_△EFI
=2 $\text{[math]}$ t+6 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （2t-2）×（2 $\text{[math]}$ t-2 $\text{[math]}$ ）
=-2 $\text{[math]}$ t²+6 $\text{[math]}$ t+4 $\text{[math]}$ ，
∵-2 $\text{[math]}$ ＜0，
∴当t=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时
S_2最大= $\text{[math]}$ ，
当t=2时，如图5，
MP=MN=6，
N与D重合，

S₃=S_梯形IMNG，
= $\text{[math]}$ ×36- $\text{[math]}$ ×4，
=8 $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ ，
S_最大= $\text{[math]}$ ，

（4）∵△ODR是等腰三角形，
①当D为顶点，OD=OR₁=6时，
DR₁=6-2 $\text{[math]}$ ＞2（不合题意舍去），
当D为顶点时，R₁不存在，
此时R₁不存在，使△ODR是等腰三角形，
②当R₂为顶点，OR₂=DR₂时，
R₂在EC的中点处，
∵AO=4 $\text{[math]}$ ，∠B=30°，

∴BO=12，
∵D为OB中点，
∴DO=EC=6，
∴ER₂=3，
∵OB=12，∠B=30°，
∴OP₂=6，
∴R₂P₂=3，
∴ER₂=P₂R₂=3，
∴CP₂=3 $\text{[math]}$ ，
∴AP₂=4 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
t₂= $\text{[math]}$ =1，
③当O为等腰三角形顶角的顶点时，
CR₃=6-2 $\text{[math]}$ ，
CP₃= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2=6 $\text{[math]}$ -6 $\text{[math]}$ ，
AP₃=4 $\text{[math]}$ -（6 $\text{[math]}$ -6 $\text{[math]}$ ），
=6 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ，
∴t₃= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ -2＞2（不合题意舍去）．
综上所述：t=1时，△ODR是等腰三角形．
分析：（1）利用直角三角形中30°所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；
（3）根据当0≤t≤1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；
（4）根据当D为顶点，OD=OR₁=6时，当R₂为顶点，OR₂=DR₂时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识，（3）（4）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．

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（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

（2012•闸北区一模）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．
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