题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.
①如图1,当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点P的坐标;
②如图2,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,若PE:OE=3:8,求k的值.

【答案】
(1)

解:∵直线y=x+4经过A,C两点,

∴A点坐标是(﹣4,0),点C坐标是(0,4),

又∵抛物线过A,C两点,

,解得:

∴抛物线的解析式为


(2)

解:①如图1

∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1.

∵以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,

∴PQ∥AO,PQ=AO=4.

∵P,Q都在抛物线上,

∴P,Q关于直线x=﹣1对称,

∴P点的横坐标是﹣3,

∴当x=﹣3时,

∴P点的坐标是

②过P点作PF∥OC交AC于点F,如图2

∵PF∥OC,

∴△PEF∽△OEC,

又∵

设点F(x,x+4),

化简得:x2+4x+3=0,解得:x1=﹣1,x2=﹣3.

当x=﹣1时,;当x=﹣3时,

即P点坐标是

又∵点P在直线y=kx上,


【解析】(1)由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标,把A和C的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式;
(2)①若以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,则PQ∥AO,再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标,由(1)中的抛物线解析式,进而可求出其纵坐标,问题得解;
②过P点作PF∥OC交AC于点F,因为PF∥OC,所以△PEF∽△OEC,由相似三角形的性质:对应边的比值相等可求出PF的长,进而可设点点F(x,x+4),利用,可求出x的值,解方程求出x的值可得点P的坐标,代入直线y=kx即可求出k的值.
【考点精析】掌握二次函数的图象和平行四边形的判定与性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积.

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