Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=x+4经过A，C两点，

∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），

又∵抛物线过A，C两点，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为．

（2）

解：①如图1

∵，

∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1．

∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，

∴PQ∥AO，PQ=AO=4．

∵P，Q都在抛物线上，

∴P，Q关于直线x=﹣1对称，

∴P点的横坐标是﹣3，

∴当x=﹣3时，，

∴P点的坐标是；

②过P点作PF∥OC交AC于点F，如图2

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC，

∴．

又∵，

∴，

设点F（x，x+4），

∴，

化简得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．

当x=﹣1时，；当x=﹣3时，，

即P点坐标是或．

又∵点P在直线y=kx上，

∴或．

【解析】（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；
（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值．
【考点精析】掌握二次函数的图象和平行四边形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．