题目内容
【题目】在矩形ABCD中,AB=3厘米,AD=4厘米,点P以每秒厘米的速度在BC上从B往C运动,同时点Q以每秒1厘米的速度在CA上从C往A运动,设运动时间为t秒.
(1)当PQ平行于AB时,求t的值;
(2)是否存在某一时刻t,使点P、Q、D三点在同一直线上?若存在,求出t;若不存在,请说明理由;
(3)当△PQC为等腰三角形时,求t的值.
【答案】(1)t=;(2)当t=时,点P、Q、D三点在同一直线上;(3)t=或t=或t=时,△PQC为等腰三角形.
【解析】
试题分析:(1)根据勾股定理求出AC的长,根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可;
(2)根据相似三角形的性质得到=,代入数据计算即可;
(3)分CQ=CP、QP=QC、PQ=PC三种情况,根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质进行计算即可.
解:(1)∵∠B=90°,AB=3厘米,AD=4厘米,
∴AC==5厘米,
由题意得,BP=t,CQ=t,则CP=4﹣t,
∵PQ∥AB,
∴=,即=,
解得t=;
(2)∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
如图2,当点P、Q、D三点在同一直线上时,=,即=,
解得t1=(舍去),t2=,
则当t=时,点P、Q、D三点在同一直线上;
(3)当CQ=CP时,4﹣t=t,
解得t=;
当QP=QC时,
如图3,作QE⊥BC于E,
则PE=EC=(4﹣t),
∵QE∥AB,
∴=,
即=,
解得t=;
当PQ=PC时,
如图4,作PF⊥AC于F,
则FC=QC=t,
∵PF⊥AC,∠B=90°,
∴△CFP∽△CBA,
∴=,即=,
解得t=,
综上所述,t=或t=或t=时,△PQC为等腰三角形.
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