Question

已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；
（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）题要通过构建全等三角形来求解．连接AD，可通过证△ADF和△BDE全等来求本题的结论．
（2）题可把将四边形AEDF的面积分成△ADF和ADE的面积和求解，由（1）证得△ADF和△BDE全等，因此四边形AEDF的面积可转化为△ABD的面积，由此得证．
（3）与（1）题的思路和解法一样．

解答：（1）证明：连接AD
∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点
∴AD=

BC

2

=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中，

BD=AD ∠B=∠DAF=45° BE=AF

∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．

（2）解：四边形AEDF面积不变．
理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED
∴S_△BDE=S_△ADF，
而S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△AED+S_△BDE=S_△ABD
∴S_{四边形AEDF}不会发生变化．

（3）解：仍为等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED
∴DF=DE，∠ADF=∠BDE
∵∠ADF+∠FDB=90°
∴∠BDE+∠FDB=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大．