题目内容
【题目】如图,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于 (结果保留根号).
【答案】.
【解析】
试题分析:根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积,再根据求出其边长,可根据三角函数得出三角形面积.
解:∵△ABC∽△ADE,AB=2AD,
∴=,
∵AB=2AD,S△ABC=,
∴S△ADE=,
如图,在△EAF中,过点F作FH⊥AE交AE于H,
∵∠EAF=∠BAD=45°,∠AEF=60°,
∴∠AFH=45°,∠EFH=30°,
∴AH=HF,
设AH=HF=x,则EH=xtan30°=x.
又∵S△ADE=,
作CM⊥AB交AB于M,
∵△ABC是面积为的等边三角形,
∴×AB×CM=,
∠BCM=30°,
设AB=2k,BM=k,CM=k,
∴k=1,AB=2,
∴AE=AB=1,
∴x+x=1,
解得x==.
∴S△AEF=×1×=.
故答案为:.
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