Question

【题目】结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．

（1）填空：______；

（2）若灯射线先转动60秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）120；（2）灯转动100秒，两灯的光束互相平行；（3）在转动过程中，和关系不会变化，且有，理由见解析．

【解析】

（1）先根据角的倍差求出的度数，再根据平行线的性质即可得；

（2）设A灯转动时间为t秒，先求出两个临界位置：灯射线从开始顺时针旋转至、灯射线从开始顺时针旋转至，再分三种情况，分别利用平行线的性质列出等式求解即可得；

（3）先根据角的和差求出，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差可得，由此即可得．

（1）∵，

∴

（两直线平行，内错角相等）

故答案为：120；

（2）设A灯转动时间为t秒

灯射线从开始顺时针旋转至所需时间为（秒），灯射线从开始顺时针旋转至所需时间为（秒）

灯射线从开始顺时针旋转至所需时间为（秒）

则t的取值范围为，即

由题意，分以下三种情况：

①当时，如图1所示

∵

∴

∵

∴

∴

∴

解得

此时，

即两灯的光束重合，不符题意，舍去

②当时，如图2所示，此时灯A射线未从AN回转

∵

∴

∵

∴

∴

∴

解得（不符题设，舍去）

③当时，如图2所示，此时灯A射线旋转至AN，并已开始回转

∵

∴

∵

∴

∴

∴

解得，符合题设

综上，灯转动100秒，两灯的光束互相平行；

（3）和关系不会变化，且有，理由如下：

设灯A射线转动时间为t秒

∵

∴

又∵

∴

∴

∴，即

故在转动过程中，和关系不会变化，且有．