题目内容
已知直线y=kx-4(k>0)与x轴、y轴交于A、C两点,过A、C两点的抛物线开口向上,且与x轴交于一点B.(I)写出A、C两点坐标(可用k表示);
(II)若AO=3BO,点B到直线AC的距离等于
16 | 5 |
(III)是否存在点A、点B使tan∠ACB=2,且△ABC外接圆截y轴所得弦长等于5,若存在,求过点A、B、C的抛物线解析式,若不存在,说明理由.
分析:( I)根据一次函数与坐标轴的交点求法即可得出A,C的坐标;
( II)假设出A,B两点的坐标,得出AB,AC的长度,再利用AB•OC=AC•BD,得出A,B坐标,即可求出直线与抛物线的解析式;
( III)利用解直角三角形的性质得出△OBC∽△ODA,进而求出A,B两点的坐标,即可得出二次函数的解析式.
( II)假设出A,B两点的坐标,得出AB,AC的长度,再利用AB•OC=AC•BD,得出A,B坐标,即可求出直线与抛物线的解析式;
( III)利用解直角三角形的性质得出△OBC∽△ODA,进而求出A,B两点的坐标,即可得出二次函数的解析式.
解答:解:( I)∵直线y=kx-4与x轴、y轴交于A、C两点,
∴y=0,x=
,
x=0,y=-4,
∴A(
,0),C(0,-4)(2分);
( II)设A(3α,0),B(-α,0),
在△ABC中,AB•OC=AC•BD,
∴4α•4=
•
,
∴α=1,
∴A(3,0)B(-1,0),
将A(3,0)代入y=kx-4,得k=
,
∴y=
x-4(4分),
设抛物线解析式为y=m(x-3)(x+1),
,将C(0,-4)代入,得m=
,
∴y=
x2-
x-4(6分);
( III)存在(7分),
如图,设△ABC外接圆圆心为M,作MG⊥x轴,交AB于点E,交圆M于点G,MF⊥y轴于点F
则CO=4,CF=2.5,
∴FO=1.5,
∵MG⊥AB,
∴
=
,∠AME=∠ACB,
Rt△AME中,tan∠AME=2ME=OF,
∴AE=3AB=6,
∵∠CBO=∠ADO,∠BOC=∠DOA,
由△OBC∽△ODA,
得
=
,
∴OB•OA=OD•OC,
设OB=x,则OA=6-x,
∴x(6-x)=4∴x=3±
,
∴A(3±
,0)B(-3±
,0)(9分),
设所求抛物线解析式为y=a(x-3±
)(x-
±3),
将C(0,-4)代入,得a=1,
∴y=x2±2
x-4(10分).
∴y=0,x=
4 |
k |
x=0,y=-4,
∴A(
4 |
k |
( II)设A(3α,0),B(-α,0),
在△ABC中,AB•OC=AC•BD,
∴4α•4=
9α2+16 |
16 |
5 |
∴α=1,
∴A(3,0)B(-1,0),
将A(3,0)代入y=kx-4,得k=
4 |
3 |
∴y=
4 |
3 |
设抛物线解析式为y=m(x-3)(x+1),
,将C(0,-4)代入,得m=
4 |
3 |
∴y=
4 |
3 |
8 |
3 |
( III)存在(7分),
如图,设△ABC外接圆圆心为M,作MG⊥x轴,交AB于点E,交圆M于点G,MF⊥y轴于点F
则CO=4,CF=2.5,
∴FO=1.5,
∵MG⊥AB,
∴
AG |
BG |
Rt△AME中,tan∠AME=2ME=OF,
∴AE=3AB=6,
∵∠CBO=∠ADO,∠BOC=∠DOA,
由△OBC∽△ODA,
得
OB |
OC |
OD |
DA |
∴OB•OA=OD•OC,
设OB=x,则OA=6-x,
∴x(6-x)=4∴x=3±
5 |
∴A(3±
5 |
5 |
设所求抛物线解析式为y=a(x-3±
5 |
5 |
将C(0,-4)代入,得a=1,
∴y=x2±2
5 |
点评:此题主要考查了二次函数以一次函数的综合题目,主要利用数形结合进行求解,利用三角形的相似得出A,B,两点的坐标是解决问题的关键.
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