题目内容
【题目】如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC＝
．则tan∠DBC的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
根据tan∠BAC＝
，得出∠BAC的度数，则在Rt△ACB中，设BC＝1，则AC＝
；证明△CAD为等边三角形，过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，则DE∥BC，从而∠DBC＝∠FDE，设CF＝x，则EF＝
﹣x，根据tan∠DBC＝tan∠FDE列出关于x的方程，解得x值，则可求得tan∠DBC的值．
∵tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴设BC＝1，则AC＝，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∵CA＝CD，
∴△CAD为等边三角形，
过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，如图，
则有：CE＝
AC＝，DE＝ADsin60°＝×＝
，
设CF＝x，则EF＝﹣x，
∵AC⊥BC，DE⊥CA，
∴DE∥BC，
∴∠DBC＝∠FDE，
∴tan∠DBC＝tan∠FDE，
∴
∴
＝
，
解得：x＝
，
∴tan∠DBC＝＝．
故选：D．
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