题目内容

【题目】在矩形ABCD中,AB=6cmBC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动PQ两点在分别到达BC两点后就停止移动,设两点移动的时间为t秒,回答下列问题:

1)如图1,当t为几秒时,PBQ的面积等于5cm2

2)如图2,当t=秒时,试判断DPQ的形状,并说明理由;

3)如图3,以Q为圆心,PQ为半径作⊙Q

①在运动过程中,是否存在这样的t值,使⊙Q正好与四边形DPQC的一边(或边所在的直线)相切?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;

②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点,请直接写出t的取值范围。

【答案】11秒或5秒(2)直角三角形(3t=0t=﹣18+120t6﹣18

【解析】试题分析:(1)由题意可知PA=tBQ=2t,从而得到PB=6﹣tBQ=2t,然后根据△PQB的面积=5cm2列方程求解即可;

2)由t=,可求得AP=QB=3PB=CQ=9,由勾股定理可证明DQ2+PQ2=PD2,由勾股定理的逆定理可知DPQ为直角三角形;

3t=0时,点P与点A重合时,点B与点Q重合,此时圆QPD相切;当⊙Q正好与四边形DPQCDC边相切时,由圆的性质可知QC=QP,然后依据勾股定理列方程求解即可;

先求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值,然后可确定出t的取值范围.

试题解析:(1当运动时间为t秒时,PA=tBQ=2t

∴PB=6﹣tBQ=2t

∵△PBQ的面积等于5cm2

PBBQ=6﹣t2t

解得:t1=1t2=5

答:当t1秒或5秒时,△PBQ的面积等于5cm2

2△DPQ的形状是直角三角形.

理由:t=秒时,AP=QB=3

PB=6﹣=CQ=12﹣3=9

RtPDA中,由勾股定理可知:PD2=DA2+PA2=122+2=

同理:在RtPBQRtDCQ中由勾股定理可得:DQ2=117PQ2=

117+=

∴DQ2+PQ2=PD2

所以△DPQ的形状是直角三角形.

3span>))由题意可知圆QABBC不相切.

)如图1所示:当t=0时,点P与点A重合时,点B与点Q重合.

∵∠DAB=90°

∴∠DPQ=90°

∴DP⊥PQ

∴DP为圆Q的切线.

)当⊙Q正好与四边形DPQCDC边相切时,如图2所示.

由题意可知:PB=6﹣tBQ=2tPQ=CQ=12﹣2t

Rt△PQB中,由勾股定理可知:PQ2=PB2+QB2,即(6﹣t2+2t2=12﹣2t2

解得:t1=﹣18+12t2=﹣18﹣12(舍去).

综上所述可知当t=0t=﹣18+12时,Q与四边形DPQC的一边相切.

)当t=0时,如图1所示:⊙Q与四边形DPQC有两个公共点;

)如图3所示:当圆Q经过点D时,⊙Q与四边形DPQC有两个公共点.

由题意可知:PB=6﹣tBQ=2tCQ=12﹣2tDC=6

由勾股定理可知:DQ2=DC2+CQ2=62+12﹣2t2PQ2=PB2+QB2=6﹣t2+2t2

∵DQ=PQ

∴DQ2=PQ2,即62+12﹣2t2=6﹣t2+2t2

整理得:t2+36t﹣144=0

解得:t1=6﹣18t2=﹣6﹣18(舍去).

0t6﹣18时,Q与四边形DPQC有三个公共点.

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