Question

【题目】我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）易知点，设解析式为两点式即，将点D坐标代入求解即可；

（2）设经过点C的“蛋圆”切线CE交x轴于点E，连接CM，在中，由勾股定理可知OC长，易知点C坐标，解直角三角形可得，在中，解直角三角形可得EM长，易知点E坐标，设直线CE的解析式为，将点，坐代入求解即可；

（3）设过点的“蛋圆”切线的解析式为，由题意可知方程有两个相等的实数根，利用可得m值.

解：（1）由AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2可知，

设“蛋圆”抛物线部分的解析式为，

将点代入得，

解得，

所以“蛋圆”抛物线部分的解析式为，自变量的取值范围为；

（2）设经过点C的“蛋圆”切线CE交x轴于点E，连接CM，

在中，，根据勾股定理得，即，

在中，

设直线CE的解析式为，

将点，代入得

解得

所以经过点C的“蛋圆”切线的解析式；

（3）设过点的“蛋圆”切线的解析式为，

由题意可知方程组只有一组解，

即有两个相等的实数根，

化简得

解得或（舍去）

所以经过点D的“蛋圆”切线的解析式为.