Question

（2002•大连）如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC=BD，
求证：△OCD为等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：此题解法较多，下面以拣两种常用的解法进行说明：
①连接OA、OB，由于OA、OB都是⊙O的半径，则OA=OB，且∠OAC=∠OBD，进而可得∠OAC=∠OBD，然后通过证△OAC≌△OBD得到OC=OD，即△OCD是等腰三角形的结论．
②过O作AB垂线，设垂足为M，由垂径定理可得AM=BM，已知AC=BD，那么CM=DM，即OM垂直平分线段CD，由此证得OC=OD，即△OCD为等腰三角形．
解答：证明：（证法一）过点O点作OM⊥AB，垂足为M；
∵OM⊥AB，∴AM=BM，
∵AC=BD，∴CM=DM，
又∵OM⊥AB，∴OC=OD，
∴△OCD为等腰三角形．

（证法二）连接OA，OB；
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
∴△CBO≌△DAO，
∴OC=OD，
∴△OCD为等腰三角形；

（证法三）（以上同证法二）
∴∠CAO=∠DBO，
又∵AC=BD，
∴△CAO≌△DBO，
∴△OCD为等腰三角形．
点评：此题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定等知识，难度不大．