题目内容
如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。
（1）已知∠APB是
上关于点A、B的滑动角。
① 若AB为⊙O的直径，则∠APB=
② 若⊙O半径为1，AB=
，求∠APB的度数
（2）已知
为
外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，∠APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交
于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。
解：（1）①900。
②如图，连接AB、OA、OB．
在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=
，∴OA2+OB2=AB2。
∴∠AOB=90°。
当点P在优弧 AB 上时（如图1），∠APB=
∠AOB=45°；
当点P在劣弧 AB 上时（如图2），
∠APB=（360°－∠AOB）=135°。
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，
∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB。
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。
第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，
∠APB=∠MAN+∠ANB。
【解析】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。
（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。
②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧
上；点P在劣弧上两种情况讨论即可。
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。
24、如图，E、F为AD上两点，且AF=DE，AB=DC，BE=CF．
如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．
如图，D、C为AF上两点，AD=CF，AB=DE，要使得△ABC≌△DEF，需补充边的条件为