Question

如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．
（1）判断△AOG的形状，并予以证明；
（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；
（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）△AOG的形状是等腰三角形，利用已知条件证明AG=OG即可；
（2）接连BC，易证△COD≌△BOE（HL），设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，利用全等三角形的性质和已知条件证明∠AOB=∠ACB=90°，即可得到AO⊥BO；
（3）连BC，作MG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H，易证△OMG≌△OBH，OG=BH=1，MG=OH=3，所以M（-1，3）．

解答：解：（1）△AOG的形状是等腰三角形，
理由如下：
∵AC∥y轴，
∴∠CAO=∠GOA，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠GAO，
∴∠GOA=∠GAO，
∴AG=OG，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）接连BC，过O作OE⊥AB于E，
∵B、C关于y轴对称，AC∥y轴，
∴AC⊥BC，
在Rt△COD和Rt△BOE中，

DO=OE CO=BO

，
∴△COD≌△BOE（HL），
∴∠DCO=∠EBO，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，
∴2x+∠BOC=180°，
又∵2y+∠BOC=180°，
∴x=y，故∠OAC=∠OBC，
∴∠AOB=∠ACB=90°，
∴AO⊥OB；
（3）连BC，作MG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H，
则∠ACB=90°，
∵∠ACM=45°，
∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，
∴BM平分∠ABC，设∠ABM=∠CBM=z，
由（2）可得∠OMB=x+z，∠OBM=y+z=x+z
∴∠OMB=∠OBM，
∴OM=OB 
∴△OBM为等腰直角三角形，

∠MGO=∠BHO=90° ∠GMO=∠BOH OM=OB

，
∴△OMG≌△OBH（AAS），
∴OG=BH=1，MG=OH=3，
∴M（-1，3）．

点评：本题考查了角平分线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，题目的综合性强、需要添加的辅助线比较多，是此题的特点．