Question

如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE．
（1）请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，BD=

3

，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接圆心和切点，利用OC⊥AB可证得∠ODF=90°，从而得到其位置关系；
（2）易证得△COB∽△ADB，利用相似比求解即可．

解答：解：（1）FD与⊙O相切．1分
证明：连接OD；
∵FE=FD，
∴∠FED=∠FDE； 3分
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OEA+∠OAE=90°，∠FED=∠AEO，
∴∠ODE+∠FDE=90°，
∴FD与⊙O相切．

（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∵OC⊥AB，
∴∠COB=∠ADB=90°，∠CBO=∠ABD，
∴△COB∽△ADB，
∴

OB

DB

=

BC

AB

，
∴BC=

2×4

3

=

8 3

3

．

点评：求直线和圆的位置关系，首先要猜想是相切，那么应连接圆心和切点，证半径和直线所夹的角是90°，需注意利用相似来求相关线段的长度．