题目内容

在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BD上一动点,过P作EFAC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,△BEF的面积为y,则能反映y与x之间关系的图象为(  )
A.B.C.D.

∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD=2
2
,OB=OD=
1
2
BD=
2

①当P在OB上时,即0≤x≤
2

∵EFAC,
∴△BEF△BAC,
∴EF:AC=BP:OB,
∴EF=2BP=2x,
∴y=
1
2
EF•BP=
1
2
×2x×x=x2
②当x在OD上时,即
2
<x≤2
2

∵EFAC,
∴△DEF△DAC,
∴EF:AC=DP:OD,
即EF:2
2
=(2
2
-x):
2

∴EF=2(2
2
-x),
∴y=
1
2
EF•BP=
1
2
×2(2
2
-x)×x=-x2+
2
x,
这是一个二次函数,根据二次函数的性质可知:
二次函数的图象是一条抛物线,开口方向决定,二次项的系数.
当系数>0时,抛物线开口向上;系数<0时,开口向下.所以由此图我们会发现,EF的取值,最大是AC.当在AC的左边时,EF=2BP;所以此抛物线开口向上,当在AC的右边时,抛物线就开口向下了.故选C.
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