题目内容

【题目】某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足下列关系式: y=

(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?
(2)如图,设第x天每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价﹣成本)
(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?

【答案】
(1)解:设李明第n天生产的粽子数量为420只,

由题意可知:30n+120=420,

解得n=10.

答:第10天生产的粽子数量为420只


(2)解:由图象得,当0≤x≤9时,p=4.1;

当9≤x≤15时,设P=kx+b,

把点(9,4.1),(15,4.7)代入得,

解得

∴p=0.1x+3.2,

①0≤x≤5时,w=(6﹣4.1)×54x=102.6x,当x=5时,w最大=513(元);

②5<x≤9时,w=(6﹣4.1)×(30x+120)=57x+228,

∵x是整数,

∴当x=9时,w最大=741(元);

③9<x≤15时,w=(6﹣0.1x﹣3.2)×(30x+120)=﹣3x2+72x+336,

∵a=﹣3<0,

∴当x=﹣ =12时,w最大=768(元);

综上,当x=12时,w有最大值,最大值为768


(3)解:由(2)可知m=12,m+1=13,

设第13天提价a元,由题意得,w13=(6+a﹣p)(30x+120)=510(a+1.5),

∴510(a+1.5)﹣768≥48,解得a≥0.1.

答:第13天每只粽子至少应提价0.1元


【解析】(1)把y=420代入y=30x+120,解方程即可求得;(2)根据图象求得成本p与x之间的关系,然后根据利润等于订购价减去成本价,然后整理即可得到W与x的关系式,再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答;(3)根据(2)得出m+1=13,根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式,再根据题意列出不等式求解即可.

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