题目内容
【题目】已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边 形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S．
（1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值；
（2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由；
（3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
【答案】
（1）
解：如图1，连接OA、OB，
当n=4时，四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BON=90°，
∵∠MON=∠α=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
∴∠BON=∠AOM，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAM=∠ABO=45°，
在△AOM和△BON中，
∵ 
，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴S△AOM=S△BON，
∴S△AOM+S△AON=S△BON+S△AON，
即S四边形ANDM=S△ABO=S，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S正方形ABCD=2×2=4，
∴S=S△ABO= 
S正方形ABCD= ×4=1
（2）
解：如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，
理由如下：连接OA、OB，
则OA=OB=OC，∠AOB=∠MON=72°，
∴∠AOM=∠BON，且∠OAB=∠OBC=54°，
∴△OAM≌△OBN，
∴四边形OMBN的面积：S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB，
故S的大小不变
（3）
解：猜想：S是原正六边形面积的 
，理由是：
如图3，连接OB、OD，
同理得△BOM≌△DON，
∴S=S△BOM+S四边形OBCN=S△DON+S四边形OBCN=S四边形OBCD= S六边形ABCDEF；
四边形OMPN是菱形，
理由如下：
如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，
连接OA、OB、OC、OD、PM、PN，
∵OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠MOP=∠PON=60°，
∴∠OAM=∠OBP=∠OCN=60°，∠AOM=∠BOP=∠CON，
∴△OAM≌△OBP≌△OCN，
∴OM=OP=ON，
∴△OMP和△OPN都是等边三角形，
∴OM=PM=OP=ON=PN，
∴四边形OMPN是菱形．
【解析】（1）如图1，连接对角线OA、OB，证明△AOM≌△BON（ASA），则S△AOM=S△BON ， 所以S=S△ABO= S正方形ABCD= ×4=1；（2）如图2，在旋转过程中，∠α与正n边形重叠部分的面积S不变，连接OA、OB，同理证明△OAM≌△OBN，则S=S△OBN+S△OBM=S△OAM+S△OBM=S△OAB ， 故S的大小不变；（3）如图3，120°相当于两个中心角，可以理解为一个中心角连续旋转两次，由前两问的推理得，旋转一个中心角时重叠部分的面积是原来正n边形面积的 
，则S是原正六边形面积的 ；也可以类比（1）（2）证明△OAM≌△OBN，利用割补法求出结论；
四边形OMPN是菱形，
理由如下：如图4，作∠α的平分线与BC边交于点P，作辅助线构建全等三角形，同理证明△OAM≌△OBP≌△OCN，得△OMP和△OPN都是等边三角形，则OM=PM=OP=ON=PN，根据四边相等的四边是菱形可得：四边形OMPN是菱形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解旋转的性质的相关知识，掌握①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．
