题目内容

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．
①求⊙O的半径；
②求sin∠BOC的值．

解：（1）连接OD，OE，设OD=r
∵AC，BC切⊙O于D，E
∴∠ODC=∠OEC=90°，OD=OE
∵S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC
∴ $\text{[math]}$ AC•OD+ $\text{[math]}$ BC•OE= $\text{[math]}$ AC•BC
即 $\text{[math]}$ ×4r+ $\text{[math]}$ ×2r= $\text{[math]}$ ×4×2，
∴r= $\text{[math]}$ ．
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC，
在Rt△ABC与Rt△OEC中
AB= $\text{[math]}$ ，OC= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ AC•BC= $\text{[math]}$ AB•CF
∴CF= $\text{[math]}$
∴sin∠BOC= $\text{[math]}$
即sin∠BOC= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接OD，OE，根据S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC，即 $\text{[math]}$ AC•OD+ $\text{[math]}$ BC•OE= $\text{[math]}$ AC•BC即可求解；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC与Rt△OEC中，根据勾股定理求出AB，OC，根据三角形ABC的面积等于 $\text{[math]}$ AC•BC= $\text{[math]}$ AB•CF，就可以求出CF的值，就可以求出sin∠BOC的值．
点评：本题考查的是切线性质的实际应用，运用切线的性质可证明四边形ODCE正方形．根据三角形的面积的公式就可以求解．