题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A( ,1)在反比例函数y=
的图象上.
(1)求反比例函数y= 的表达式;
(2)在x轴的负半轴上存在一点P,使得S△AOP= S△AOB , 求点P的坐标;
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E的坐标,并判断点E是否在该反比例函数的图象上.
【答案】
(1)
解:∵点A( ,1)在反比例函数y=
的图象上,
∴k= ×1=
,
∴反比例函数表达式为y=
(2)
解:∵A( ,1),AB⊥x轴于点C,
∴OC= ,AC=1,
∵OA⊥OB,OC⊥AB,
∴∠A=∠COB,
∴tan∠A= =tan∠COB=
,
∴OC2=ACBC,即BC=3,
∴AB=4,
∴S△AOB= ×
×4=2
,
∴S△AOP= S△AOB=
,
设点P的坐标为(m,0),
∴ ×|m|×1=
,解得|m|=2
,
∵P是x轴的负半轴上的点,
∴m=﹣2 ,
∴点P的坐标为(﹣2 ,0)
(3)
解:由(2)可知tan∠COB= =
=
,
∴∠COB=60°,
∴∠ABO=30°,
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE,
∴∠OBD=60°,
∴∠ABD=90°,
∴BD//x轴,
在Rt△AOB中,AB=4,∠ABO=30°,
∴AO=DE=2,OB=DB=2 ,且BC=3,OC=
,
∴OD=DB﹣OC= ,BC﹣DE=1,
∴E(﹣ ,﹣1),
∵﹣ ×(﹣1)=
,
∴点E在该反比例函数图象上
【解析】(1)由点A的坐标,利用待定系数法可求得反比例函数表达式;(2)由条件可求得∠A=∠COB,利用三角函数的定义可得到OC2=ACBC,可求得BC的长,可求得△AOB的面积,设P点坐标为(m,0),由题意可得到关于m的方程,可求得m的值;(3)由条件可求得∠ABD=90°,则BD//x轴,由BD、DE的长,可求得E点坐标,代入反比例函数解析式进行判断即可.
【考点精析】本题主要考查了图形的旋转的相关知识点,需要掌握每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素才能正确解答此题.

【题目】某商场用2730元购进A、B两种新型节能日光灯共60盏,这两种日光灯的进价、标价如下表所示.
价格/类型 | A型 | B型 |
进价(元/盏) | 35 | 65 |
标价(元/盏) | 50 | 100 |
(1)这两种日光灯各购进多少盏?
(2)若A型日光灯按标价的9折出售,要使这批日光灯全部售出后商场获得810元的利润,则B型日光灯应按标价的几折出售?