题目内容
如图,直线y=-x+20与x轴、y轴分别交于A、B两点,动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动.动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF∥x轴),并且分别与y轴、线段AB交于E、F点.连接FP,设动点P与动直线EF同时出发,运动时间为t秒.(1)当t=1秒时,求梯形OPFE的面积.
(2)t为何值时,梯形OPFE的面积最大,最大面积是多少?
(3)设t的值分别取t1、t2时(t1≠t2),所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2.试判断这两个三角形是否相似,请证明你的判断.
分析:(1)根据直线的性质,求出A、B两点的坐标,再根据点A的移动规律,得到AP的长,从而求出OP的长;
又因为EF=BE,用OB的长减去OE的长即可求出EF的长;从而利用梯形面积公式求出梯形OPFE面积.
(2)设OE=t,AP=3t,利用梯形面积公式,将梯形面积转化为关于t的二次函数表达式,求二次函数的最大值即可;
(3)作FD⊥x轴于D,则四边形OEFD为矩形.求出三角形各边的长度表达式,计算出对应边的比值,加上一个夹角相等,即可得到△AF1P1∽△AF2P2.
又因为EF=BE,用OB的长减去OE的长即可求出EF的长;从而利用梯形面积公式求出梯形OPFE面积.
(2)设OE=t,AP=3t,利用梯形面积公式,将梯形面积转化为关于t的二次函数表达式,求二次函数的最大值即可;
(3)作FD⊥x轴于D,则四边形OEFD为矩形.求出三角形各边的长度表达式,计算出对应边的比值,加上一个夹角相等,即可得到△AF1P1∽△AF2P2.
解答:解:设梯形OPFE的面积为S.(1)对于直线y=-x+20,当x=0时,y=20;当y=0时,x=20,
故A(20,0),B(0,20);
∴OA=OB=20,∠A=∠B=45°.
当t=1时,OE=1,AP=3,
∴OP=17,EF=BE=19.
∴S=
(OP+EF)•OE=
×(17+19)=18.
(2)OE=t,AP=3t,
∴OP=20-3t,EF=BE=20-t.
∴S=
(OP+EF)•OE=
(20-3t+20-t)•t=-2t2+20t=-2(t-5)2+50.
∴当t=5(在0<t<
范围内)时,S最大值=50.
(3)作FD⊥x轴于D,则四边形OEFD为矩形.
∴FD=OE=t,AF=
FD=
t.
又AP=3t,
当t=t1时,AF1=
t1,AP1=3t1;当t=t2时,AF2=
t2,AP2=3t2;
∴
=
=
,又∠A=∠A,
∴△AF1P1∽△AF2P2.
故A(20,0),B(0,20);
∴OA=OB=20,∠A=∠B=45°.
当t=1时,OE=1,AP=3,
∴OP=17,EF=BE=19.
∴S=
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)OE=t,AP=3t,
∴OP=20-3t,EF=BE=20-t.
∴S=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴当t=5(在0<t<
20 |
3 |
(3)作FD⊥x轴于D,则四边形OEFD为矩形.
∴FD=OE=t,AF=
2 |
2 |
又AP=3t,
当t=t1时,AF1=
2 |
2 |
∴
AF1 |
AF2 |
t1 |
t2 |
AP1 |
AP2 |
∴△AF1P1∽△AF2P2.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,同时结合了动点问题和二次函数的最值,综合性较强,是一道好题.
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