Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，

求证：（1）∠BGC=90°+∠BAC；

（2）∠1=∠2．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由三角形内角和定理可知∠ABC＋∠ACB＝180°∠BAC，然后利用角平分线的性质即可求出∠BGC＝90°＋∠BAC．

（2）由于AD是它的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD，然后根据图形可知：∠1＝∠BAD＋∠ABG，∠2＝90°∠GCH，最后根据三角形的内角和定理以及外角的性质即可求出答案．

（1）由三角形内角和定理可知：∠ABC＋∠ACB＝180°∠BAC，

∵BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，

∠GBC＝∠ABC，∠GCB＝∠ACB

∴∠GBC＋∠GCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝（180°∠BAC）＝90°∠BAC

∴∠BGC＝180°（∠GBC＋∠GCB）＝180°（∠ABC＋∠ACB）＝90°＋∠BAC；

（2）∵AD是它的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD

∴∠1＝∠BAD＋∠ABG，

∵GH⊥BC，

∴∠GHC＝90°

∴∠2＝90°∠GCH

＝90°∠ACB

＝90°（180°∠DAC∠ADC）

＝∠DAC＋∠ADC

∵∠ADC＝∠ABC＋∠BAD，

∴∠ADC＝∠ABC＋∠∠BAD

＝∠ABG＋∠BAD，

∴∠2＝∠DAC＋∠ADC

＝∠BAD＋∠BAD＋∠ABG

＝∠BAD＋∠ABG，

∴∠1＝∠2，