题目内容
【题目】已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)求证:CE2=EHEA;
(3)若⊙O的直径为5,sinA=,求BH的长.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析;(3).
【解析】试题分析:(1)由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC,再证出∠ABC+∠DBF=90°,即∠OBD=90°,即可得出BD是⊙O的切线;
(2)连接AC,由垂径定理得出,得出∠CAE=∠ECB,再由公共角∠CEA=∠HEC,证明△CEH∽△AEC,得出对应边成比例,即可得出结论;
(3)连接BE,由圆周角定理得出∠AEB=90°,由三角函数求出BE,再根据勾股定理求出EA,得出BE=CE=6,由(2)的结论求出EH,然后根据勾股定理求出BH即可.
试题解析:(1)∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC,∴∠ODB=∠ABC,
∵OF⊥BC,∴∠BFD=90°,∴∠ODB+∠DBF=90°,∴∠ABC+∠DBF=90°,
即∠OBD=90°,∴BD⊥OB,∴BD是⊙O的切线;
(2)连接AC,如图1所示:
∵OF⊥BC,∴, ∴∠CAE=∠ECB,
∵∠CEA=∠HEC,∴△CEH∽△AEC,∴,∴CE2=EHEA;
(3)连接BE,如图2所示:
∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,
∵⊙O的半径为,sin∠BAE=,∴AB=5,BE=ABsin∠BAE=5×=3,∴EA==4,
∵,∴BE=CE=3,∵CE2=EHEA,∴EH=
∴在Rt△ BEH中,BH==.
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