题目内容

如图所示,已知抛物线y=
14
x2-x+k
的图象与y轴相交于点B(0,1),点C(m,n)在该抛物线图精英家教网象上,且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A.
(1)求k的值;
(2)求点C的坐标;
(3)若点P的纵坐标为t,且点P在该抛物线的对称轴l上运动,试探索:
①当S1<S<S2时,求t的取值范围(其中:S为△PAB的面积,S1为△OAB的面积,S2为四边形OACB的面积);
②当t取何值时,点P在⊙M上.(写出t的值即可)
分析:(1)由于抛物线的图象经过点B,那么点B的坐标满足该抛物线的解析式,将其代入即可求得k的值.
(2)若⊙M经过点A,则∠BAC必为直角(圆周角定理),过C作x轴的垂线,设垂足为D,那么△BAO∽△ACD,可设出点C的坐标,根据相似三角形所得比例线段,即可得到点C横、纵坐标的关系式,联立抛物线的解析式即可求得C点的坐标.
(3)①由于O、A、B、C四点的坐标已经确定,所以S1、S2都可求出,△ABP中,以|t|为底,B点横坐标为高,即可得到S,即S=|t|×
1
2
×2=|t|,因此S1<|t|<S2,将S1、S2的值代入上式,然后求出t的取值范围.(注意t应该分正、负两种情况考虑)
②若P在⊙M上,∠BPC=90°,即△BPC是直角三角形,可用坐标系两点间的距离公式求出△BPC的三边长,然后利用勾股定理求出t的值.
解答:精英家教网解:(1)∵点B(0,1)在y=
1
4
x2-x+k
的图象上,
1=
1
4
×02-0+k
,(2分)
∴k=1.(3分)

(2)由(1)知抛物线为:
y=
1
4
x2-x+1即y=
1
4
(x-2)2

∴顶点A为(2,0),(4分)
∴OA=2,OB=1;
过C(m,n)作CD⊥x轴于D,则CD=n,OD=m,
∴AD=m-2,
由已知得∠BAC=90°,(5分)
∴∠CAD+∠BAO=90°,又∠BAO+∠OBA=90°,
∴∠OBA=∠CAD,
∴Rt△OAB∽Rt△DCA,
AD
OB
=
CD
OA
,即
m-2
1
=
n
2
(或tan∠OBA=tan∠CAD,
OA
OB
=
CD
AD
,即
2
1
=
n
m-2
),(6分)
∴n=2(m-2);
又∵点C(m,n)在y=
1
4
(x-2)2
上,
n=
1
4
(m-2)2

2(m-2)=
1
4
(m-2)2

即8(m-2)(m-10)=0,
∴m=2或m=10;当m=2时,n=0,当m=10时,n=16;(7分)
∴符合条件的点C的坐标为(2,0)或(10,16).(8分)

(3)①依题意得,点C(2,0)不符合条件,
∴点C为(10,16)
此时S1=
1
2
OA×OB=1

S2=SBODC-S△ACD=21;(9分)
又∵点P在函数y=
1
4
(x-2)2
图象的对称轴x=2上,
∴P(2,t),AP=|t|,
S=
1
2
OA×AP=AP
=|t|(10分)
∵S1<S<S2
∴当t≥0时,S=t,
∴1<t<21.(11分)
∴当t<0时,S=-t,
∴-21<t<-1
∴t的取值范围是:1<t<21或-21<t<-1(12分)
②t=0,1,17(14分)
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、圆周角定理、图形面积的求法、不等式以及相似三角形的性质等相关知识,综合性强,难度较大.
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