题目内容

精英家教网如图所示,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),抛物线的对称轴x=2交x轴于点E.
(1)求交点A的坐标及抛物线的函数关系式;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在点P,使点P与A,B,C三点构成一个平行四边形?若存在,请直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接CB交抛物线对称轴于点D,在抛物线上是否存在一点Q,使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1:7的两部分?若存在,请求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=x2+bx+c得到b,c的关系式;又因为抛物线的对称轴x=2,可求出b的值,进而求出求交点A的坐标及抛物线的函数关系式;
(2)分别以AC,AB为对角线各可求得一点,再以AC,AB为边求得一点;
(3)此小题要分类讨论:当分的图象左边部分是三角形,右边部分是四边形或当分的图象左边部分是四边形,右边部分是三角形时分别计算满足题意的Q值即可.
解答:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交点B(3,0),对称轴x=2,
0=9+3b+c
2=
b
2

解得:
b=-4
c=3

∴抛物线的函数关系式为y=x2-4x+3,
令y=0,则x2-4x+3=0,
解得:x1=1,x2=3.
∴抛物线与x轴另一个交点A的坐标(1,0);

(2)存在,
满足条件的点P有3个,分别为(-2,3),(2,3),(4,-3).

(3)存在,
①直线CQ与OE相交,精英家教网
当x=0时,y=x2-4x+3=3,
∴点C的坐标为(0,3),
过点C、Q的直线关系式y=-9x+3
y=-9x+3
y=x2-4x+3

解得:
x=-5
y=48

∴Q(-5,48);
②直线CQ与DE相交,
过点C、Q的直线关系式y=-
5
4
x+3,
y=-
5
4
x+3
y=x 2-4x+3

x=
11
4
y=-
7
16

∴Q(
11
4
,-
7
16
).
综上所述符合条件的Q有两个坐标分别是(-5,48);(
11
4
,-
7
16
).
点评:此题考查了二次函数与一次函数,四边形的综合知识,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.此题属于中考中的压轴题,难度较大,知识点考查的较多而且联系密切,需要学生认真审题.
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