题目内容

已知△ABC是等腰三角形,∠A是顶角,分析如下说法:
①如果∠B与∠C的平分线相交于O,则△OBC是等腰三角形.
②如果AB,AC两边上的高线相交于O,则△OBC是等腰三角形.
③如果AB,AC两边上的中线相交于O,则△OBC是等腰三角形.
④在上述任何一种情况下,都有AO⊥BC.
以上说法中,正确的有(  )
A.4个B.3个C.2个D.1个
①因为△ABC是等腰三角形,∠A是顶角,
所以∠B=∠C,∠B与∠C的平分线相交于O,
则∠OBC=∠OCB,所以△OBC是等腰三角形,正确;
②若AB,AC两边上的高线相交于O,
则CE⊥AB且交AB于E,BF⊥AC交AC于F,
因为∠B=∠C,BC=BC,所以△CEB≌△CBF,
所以∠OBC=∠OCB,所以△OBC是等腰三角形,正确;
③如果AB,AC两边上的中线相交于O,
设CE交AB于E,BF交AC于F,
因为是等腰三角形,所以AE=BE,CF=AF,
又∠B=∠C,BC=BC,根据SAS可得△CEB≌△CBF,
所以∠OBC=∠OCB,所以△OBC是等腰三角形,正确;
④因为上述任何一种情况都满足△OBC是等腰三角形,
所以AO的延长线必定过BC中点,且AO⊥BC,正确.
故选A.
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