Question

【题目】如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE.

（1）判断AG与⊙O的位置关系，并说明理由.

（2）若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长．

Answer 1

【答案】（1）AG与⊙O相切，证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）直线与圆的位置关系有三种，相交，相切，相离，由图形显然AG与⊙O相切，再根据切线的判定定理，运用圆的性质和三角形的等边对等角证明AG垂直于半径OA即可.

（2）求线段OE的长，由题可知△OEF为直角三角形，所以考虑运用勾股定理求解.由圆的性质我们知道△ABC是直角三角形，根据相似三角形的性质可以求出线段EF、BF的长，从而在直角三角形OEF中勾股定理求解.

试题解析：（1）如图 连接OA，∵OA＝OB，GA＝GE，∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE.

∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°.∴∠ABO＋∠BEF＝90°.又∵∠BEF＝∠GEA，∴∠GAE＝∠BEF.

∴∠BAO＋∠GAE＝90°. ∴OA⊥AG，即AG与⊙O相切．

（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°.∵AC＝6，AB＝8，∴BC＝10. ∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，

∴△BEF∽△BCA.∴＝＝.∴EF＝1.8，BF＝2.4，

∴OF＝OB－BF＝5－2.4＝2.6. ∴OE＝＝.