题目内容
【题目】已知：直线AD，BC被直线CD所截，AC为 ∠BAD的角平分线，∠1+∠BCD=180°．
求证：∠BCA=∠BAC．
【答案】证明见解析.
【解析】分析：方法1由∠5=∠BCD可证AD∥BC，再利用角平分线的定义即可求出结果；方法2由∠ADC+∠BCD=180°可证AD∥BC，再利用角平分线的定义即可求出结果.
本题解析：
证明：
方法1 ∵ AD是一条直线，
∴∠1+∠5=180° （平角的定义）或（邻补角的定义）
∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）
∴ ∠5=∠BCD（同角的补角相等）
∴ AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠4=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵ AC为∠BAD的角平分线（已知）
∴ ∠2=∠4（角平分线的定义）
∴ ∠2=∠3（等量代换）即：∠BCA=∠BAC．
方法2 ∵ AD与CD交于点D，
∴ ∠1=∠ADC （对顶角相等）
∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）
∴ ∠ADC+∠BCD=180°（等量代换）
∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴ ∠4=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵AC为∠BAD的角平分线（已知）
∴ ∠2=∠4（角平分线的定义）
∴ ∠2=∠3（等量代换）
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