题目内容
【题目】已知:如图,是半圆
的直径,弦
,动点
、
分别在线段
、
上,且
,
的延长线与射线
相交于点
、与弦
相交于点
(点
与点
、
不重合),
,
.设
,
的面积为
.
(1)求证:;
(2)求关于
的函数关系式,并写出
的取值范围
(3)当是直角三角形时,求线段
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)(
<x<10).
(3)线段OP的长为8.
【解析】
试题分析:(1)连接OD,通过证明△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ;
(2)作PH⊥OA,根据cos∠AOC=得到OH=PO=x,从而得到S△AOP=AOPH=3x,利用三角形相似得当对应
边的比相等即可得到函数解析式;
(3)分类讨论:当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时、当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论.
试题解析:(1)连接OD,在△AOP和△ODQ中,∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∵,∴∠OCD=∠COA,∠POA=∠QDO.在△AOP和△ODQ中,
,∴△AOP≌△ODQ,∴AP=OQ;
(2)作PH⊥OA交OA于H,∵cos∠AOC=,∴OH=
PO=
x,PH=
x,
∴S△AOP= AOPH=3x,∵
,∴△PFC∽△PAO,
,
∴,当点F与点D 重合时,∵CD=2OC cos∠OCD=2×10×
=16,
解得x=,∴
(
<x<10);
(3)当∠POE=90°时,CQ= ,∴PO=DQ=CD﹣CQ=
,∵
<x<10,∴PO=
(舍);
当∠OPE=90°时,∠OPA=90°,∴PO=AOcos∠COA=8;
当∠OEP=90°时,∵,∴∠AOQ=∠DQO=∠APO,∴∠AOP=∠AEO=90°,此时弦CD不存在,此种情况不符合题意,舍;
综上,线段OP的长为8.

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