题目内容

【题目】已知:如图,是半圆的直径,弦,动点分别在线段上,且的延长线与射线相交于点、与弦相交于点与点不重合.设的面积为

1求证:

2关于的函数关系式,并写出的取值范围

3是直角三角形时,求线段的长

【答案】1证明见解析;2<x<10.

3线段OP的长为8.

【解析】

试题分析:1连接OD,通过证明AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ;

2作PHOA,根据cosAOC=得到OH=PO=x,从而得到SAOP=AOPH=3x,利用三角形相似得当对应

边的比相等即可得到函数解析式;

3分类讨论:当POE=90°时、当OPE=90°时、当OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论.

试题解析:1连接OD,在AOP和ODQ中,OC=OD,∴∠OCD=ODC,,∴∠OCD=COA,POA=QDO.在AOP和ODQ中,

∴△AOP≌△ODQ,AP=OQ;

2作PHOA交OA于H,cosAOC=OH= PO= x,PH=x,

SAOP= AOPH=3x,,∴△PFC∽△PAO,

,当点F与点D 重合时,CD=2OC cosOCD=2×10×=16,

解得x=,<x<10

3POE=90°时,CQ= PO=DQ=CDCQ= ,<x<10,PO=

OPE=90°时,OPA=90°,PO=AOcosCOA=8;

OEP=90°时,,∴∠AOQ=DQO=APO,∴∠AOP=AEO=90°,此时弦CD不存在,此种情况不符合题意,舍;

综上,线段OP的长为8.

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