题目内容
【题目】如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D、E,且=.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sin∠ABD的值.
【答案】(1)△ABC为等腰三角形;(2).
【解析】
试题分析:(1)连结AE,如图,根据圆周角定理,由=得∠DAE=∠BAE,由AB为直径得∠AEB=90°,根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形;
(2)由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6,再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8,接着由AB为直径得到∠ADB=90°,则可利用面积法计算出BD=,然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=,再根据正弦的定义求解.
解:(1)△ABC为等腰三角形.理由如下:
连结AE,如图,
∵=,
∴∠DAE=∠BAE,即AE平分∠BAC,
∵AB为直径,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BC,
∴△ABC为等腰三角形;
(2)∵△ABC为等腰三角形,AE⊥BC,
∴BE=CE=BC=×12=6,
在Rt△ABE中,∵AB=10,BE=6,
∴AE==8,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴AEBC=BDAC,
∴BD==,
在Rt△ABD中,∵AB=10,BD=,
∴AD==,
∴sin∠ABD===.
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