题目内容
【题目】如图①,在平面直角坐标系中,直线
与x轴交于C点,与y轴交于点E,点A在x轴的负半轴,以A点为圆心,AO为半径的圆与直线的CE相切于点F,交x轴负半轴于另一点B.
(1)求
的半径;
(2)连BF、AE,则BF与AE之间有什么位置关系?写出结论并证明.
(3)如图②,以AC为直径作
交y轴于M,N两点,点P是弧MC上任意一点,点Q是弧PM的中点,连CP,NQ,延长CP,NQ交于D点,求CD的长.
【答案】(1)1;(2) BF∥AE．具体分析见解析：（3）
.
【解析】
（1）连接AF，如图①a，由直线EC的解析式可求出OE、OC的长，根据勾股定理可求出EC的长，然后根据切线长定理可求出EF的长，然后在Rt△AFC中运用勾股定理就可求出圆的半径．
（2）连接OF，交AE于点H，如图①b，根据切线长定理可得EF=EO，EA平分∠FEO，根据等腰三角形的性质可得∠AHO=90°，由BO是⊙A的直径可得∠BFO=90°，从而得到∠BFO=∠AHO，即可得到BF∥AE．
（3）连接QC、QM、MC、NC、MO1，如图②，易证△MCQ≌△DCQ，则有MC=DC．在Rt△MOO1中，运用勾股定理可求出MO的长，然后在Rt△MOC中，运用勾股定理就可求出MC，即可得到CD的长.
解:(1)连接AF,
如图①a.
直线
与x轴交于C点,与y轴交于E点,
点C的坐标为(2，0),点E的坐标为（0，
）,
∴OC=2，OE=．
∵∠EOC=90°，
∴EC=
．
∵AO⊥OE，∴直线OE与⊙A相切于点O．
又∵直线CE与⊙A相切于点F，
∴∠AFC=90°，EF=OE=，
∴FC=FE+EC=
，
在Rt△AFC中，
设AF=，则AO=x，AC=x+2．
根据勾股定理可得：x2+（
）2=（x+2）2，
解得：x=1．
∴⊙A的半径为1．
（2）BF∥AE．
证明：连接OF，交AE于点H，如图①b．
∵EF、EO分别与⊙A相切于点F、O，
∴EF=EO，EA平分∠FEO，
∴EA⊥OF，即∠AHO=90°．
∵BO是⊙A的直径，
∴∠BFO=90°，
∴∠BFO=∠AHO，
∴BF∥AE．
（3）连接QC、QM、MC、NC、MO1，如图②．
∵AC是⊙O1的直径，AC⊥MN，
∴
，
∴∠NQC=∠MNC．
∵∠MQC+∠MNC=180°，∠DQC+∠NQC=180°，
∴∠MQC=∠DQC．
∵点Q是
的中点，
∴∠MCQ=∠PCQ．
在△MCQ和△DCQ中，
，
∴△MCQ≌△DCQ（ASA），
∴MC=DC．
∵OA=1，OC=2，
∴AC=3，AO1=
，OO1=f，
在Rt△MOO1中，
MO1=AO1=，OO1=
，
∴
．
在Rt△MOC中，
MC=
，
∴DC=，
∴CD的长为.
