Question

【题目】如图，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OC＝2OA＝2，点D是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）连接AD和BC，AD交BC于点E，当S△ABE：S△BDE＝5：4时，求点D的坐标；

（3）点F为y轴上的一点，在（2）的条件下，求DF+OF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）D（2，﹣3）；（3）

【解析】

（1）OC=2OA=2，则点A、C的坐标分别为：（-1，0）、（0，-2），则c=-2，将点A的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）S△ABE：S△BDE=5：4，则AE：ED=5：4，AM∥HD，则AM：HD=AE：ED=5：4，则HD=2，即可求解；

（3）作一条与y轴夹角为α的直线AH，使tan∠HOF＝＝tanα，则sin，过点D作DH⊥AH交AH于点H，交y轴于点F，则点F为所求点，即可求解．

（1）OC＝2OA＝2，

则点A、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣2），

则c＝﹣2，

将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；

（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2，

S△ABE：S△BDE＝5：4，则AE：ED＝5：4，

分别过点A、D作y轴的平行线分别交BC于点M、H，

∴AM∥HD，当x＝﹣1时，y＝x﹣2＝﹣，

∵AM∥HD，∴AM：HD＝AE：ED＝5：4，

∴HD＝2，

设点D（x， x2﹣x﹣2），则点H（x， x﹣2），

DH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝2，解得：x＝2，

故点D（2，﹣3）；

（3）作一条与y轴夹角为α的直线AH，使tan∠HOF＝＝tanα，则sin，

过点D作DH⊥AH，交AH于点H，交y轴于点F，则点F为所求点，

DF+OF＝FD+HF最小，

过点D作x轴的平行线交y轴于点N，则∠FDN＝α，

则直线FD的表达式为：y＝﹣x+n，

将点D的坐标代入上式并解得：

直线DF的表达式为：y＝﹣x﹣，故点F（0，﹣），

则OF＝，

DF+OF的最小值＝FD+HF＝+×＝．