Question

如图，△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为4，则下列各结论中，正确的结论是（　　）
①△AMP和△CNP至少有一个是等边三角形；
②△ABC的周长等于8+4

3

；
③△AMP和△CNP至少有一个是钝角三角形；
④△ABC的面积等于6

3

．

A．①②

B．②④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长，对于选项③做出判断；由P为等腰三角形ABC底边的中点，得到BP垂直于AC，在直角三角形ABP中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BP的长，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，即可对于选项④做出判断，由MP为三角形ABC中位线，得到MP与BC平行，求出∠MPA的度数，确定出三角形AMP为钝角三角形，同理三角形CNP也为钝角三角形，即可对于选项①、③做出判断．

解答：解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴

PM′

PN

=

KM′

KM

=1，
∴PM′=PN，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∴MN=

1

2

AC，
∴PM=PN=2，MN=2

3

，
∴AC=4

3

，AB=BC=2PM=2PN=4，
∴△ABC的周长为：4+4+4

3

=8+4

3

，选项②正确；
若PM+PN的最小值为4时，P为AC中点，
∵AB=BC，
∴BP⊥AC，∠A=∠C=30°，
在Rt△ABP中，AB=4，
∴BP=

1

2

AB=2，
∵AC=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BP=4

3

，选项④错误；
∵MP为△ABC的中位线，
∴MP∥BC，
∴∠MPA=∠C=30°，
∴∠AMP=120°，即△AMP为钝角三角形，
同理△CNP为钝角三角形，
∴△AMP和△CNP至少有一个是钝角三角形，选项①错误，选项③正确，
故选C

点评：此题考查了轴对称-最短线路问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，中位线定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性质，找出PM+PN的最小值为4时P的位置是解本题的关键．