如图甲.分别以两个彼此相邻的正方形?OABC与CDEF的边OC.OA所在直线为x轴.y轴建立平面直角坐标系(O.C.F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A.B.E三点.抛物线y=14x2+bx+c经过A.C两点.与x轴的另一交点为G.M是FG的中点.正方形CDEF的面积为1. 1.(1)求B点坐标, 2.(2)求证:ME是⊙P的切线, 3.(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N.Q点是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（本题满分12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形?OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上)，抛物线y=14x²+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1.

1.（1）求B点坐标；

2.（2）求证：ME是⊙P的切线；

3.（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；

②若FQ＝t，S_△_ACQ＝S，直接写出S与t之间的函数关系式.

【答案】

1.（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，

∵正方形CDEF的面积为1，

∴CD=CF=1，

根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，

∴BC=2PC=2n，

∵而PB=PE，

∴PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，

∴5n²=（n+1）²+1，

解得：n=1或n=- 12（舍去），

∴BC=OC=2，

∴B点坐标为（2，2）；

2.（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），

∵A，C在抛物线上，

\∴ {c=214×4+2b+c=0，

解得： {c=2b=-32，

∴抛物线的解析式为：y= 14x²- 32x+2= 14（x-3）²- 14，

∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，

∵C与G关于直线x=3对称，

∴CF=FG=1，

∴MF= 12FG= 12，

在Rt△PEF与Rt△EMF中，

∠EFM=∠EFP，

∵ FMEF=121=12， EFPF=12，

∴ FMEF=EFPF，

∴△PEF∽△EMF，

∴∴∠EPF=∠FEM，

∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，

∴ME是⊙P的切线；

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，

则有AQ=A′Q，

∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，

∵A与A′关于直线x=3对称，

∴A（0，2），A′（6，2），

∴A′C=（6-2）²+2²=2 5，而AC=2²+2²=2 2，

∴△ACQ周长的最小值为2 2+2 5；

②当Q点在F点上方时，S=t+1，

当Q点在线段FN上时，S=1-t，

当Q点在N点下方时，S=t-1．

【解析】略

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（本题满分12分）

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当时，求线段的长；

（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；

（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．