题目内容
【题目】如图在平面直角坐标系xoy中，直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：y=－
x＋bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C。
（1）求抛物线解析式及C点坐标。
（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积。
（3）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P点坐标，不存在，请说明理由。
【答案】(1) y=－
x＋
x＋4，C(8，0)；（2）
；（3）存在，点P的坐标为（3，0）或(3，-
）或(3，-25））．
【解析】
试题分析：（1）在y＝2x+4中，令x=0，可得y=4，则点A的坐标为A(0，4)；令y=0，可得x=－2，则点B的坐标为(－2，0)；因为抛物线C1：y=－x＋bx+c过A、B两点，故将A(0，4)，B(－2，0)代入y=－x＋bx+c，联立方程组，求解b，c的值即可求得抛物线解析式y=－ x＋x＋4，再令－ x＋x＋4=0，即可得C点坐标；（2）先证明△ABC是直角三角形，得△ABC的斜边BC的中点为(3，0)即E点坐标为(3,0) ，由平移可得F点坐标为F (13，0)，从而得出抛物线C的解析式，再将C1、C联立方程组解出x，y的值，最后根据S四边形AOCD= S三角形AOD＋S三角形 OCD即可得出四边形AOCD的面积；（3）分情况讨论可能的情形即可得出结论．
试题解析：（1）∵直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，
∴令x=0，可得y=4，则点A的坐标为A(0，4)；
令y=0，可得x=－2，则点B的坐标为(－2，0)；
将A(0，4)，B(－2，0)代入y=－x＋bx+c，联立方程组，
解得，b=, c=4
∴抛物线C的解析式为: y=－ x＋x＋4
∵抛物线C1：y=－x＋bx+c与x轴交于点C
令－ x＋x＋4=0，
解得，x=8
∴C点坐标为C(8，0)
（2）如图，
由（1）知，C(8，0)，A(0，4)，B (－2，0)
∴AC2=AO2+OC2=42+82=80，
AB2= AO2+OB2=42+22=20，
又BC=BO+OC=8+2=10，∴BC2= 102=100
∴BC2= AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形．
△ABC的斜边BC的中点为(8+2)÷2=5
∴OE=5-OB=5-2=3
∴△ABC的斜边BC的中点为(3,0)
∵抛物线C2恰好经过△ABC的外心，
∴ E为△ABC的外心，E点坐标为(3,0)
∴F点坐标为(3+8+2，0)，即F(13，0)
由E (3,0) ，F(13，0)得抛物线C∶y= - (x-3 ) (x-13 )
即C∶y= -x＋4x－
联立方程组
解得 x=
y=
∴S四边形AOCD= S三角形AOD＋S三角形 OCD
＝
×4×＋×8×=
答：四边形AOCD的面积为．
（3）分情况讨论如下：
①BM为对角线时，中点在直线x=3上，Q（3，
）
所以P（3，0）
②当四边形PQBM为平行四边形时PQ∥MB， Q（-7，-
）,
所以P(3，-）
③当四边形PQMB为平行四边形时PQ∥BM，Q（13，-）,
所以P(3，-25）
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