Question

如图，一条直线与反比例函数的图象交于A（1，4）B（4，n）两点，与轴交于D点，AC⊥轴，垂足为C．

⑴如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；
⑵如图乙，若点E在线段AD上运动，连结CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点．试说明△CDE∽△EAF；

Answer 1

①    ② D（5，0） 
（2）△CDE和△EAF的两角对应相等，∴△CDE∽△EAF．

试题分析：解：（1）①∵点A（1，4）在反比例函数图象上
∴k=4即反比例函数关系式为y=；
②∵点B（4，n）在反比例函数图象上∴n=1
设一次函数的解析式为y=mx+b
∵点A（1，4）和B（4，1）在一次函数y=mx+b的图象上
∴所以得解得m=-1，=5
∴一次函数关系式为y=-x+5
令y=0，得x=5∴D点坐标为D（5，0）；
（2）①证明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x轴
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，∴∠ECD=∠AEF，
△ CDE和△EAF的两角对应相等，∴△CDE∽△EAF．

点评：本题难度中等，主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；同时考查了两三角形相似的条件．