Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．

（1）求证：AB＝AP；

（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）PC＝．

【解析】

(1)利用等角对等边证明即可．

(2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．

解：(1)证明：∵C为的中点，

∴∠BAC＝∠CAP，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠ACP＝90°，

∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，

∴∠ABC＝∠P，

∴AB＝AP．

(2)解：如图，连接BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝∠BDP＝90°，

∵AB＝AP＝10，DP＝2，

∴AD＝10﹣2＝8，

∴BD＝，

∴PB＝，

∵AB＝AP，AC⊥BP，

∴BC＝PC＝PB＝，

∴PC＝．