题目内容

【题目】一个三位自然数m,将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0 的新三位自然数 m’( m’可以与m相同),记m’=,在 m’ 所有的可能情况中,当|a+2b-c| 最小时,我们称此时的m’ m 幸福美满数,并规定K (m) = a2 +2b2 -c2.例如:318按上述方法可得新数有:381、813 、138 ;因为|3+28-1|= 18 ,|8+ 21-3|=7,|1 +23-8|=1,1< 7<18 ,所以138 318幸福美满数”,K(318)=|12+232-82|=-45.

(1)若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n(1≤n ≤ 9 ,n为自然数),个位上的数字为0 ,求证:K (t )= 0;

(2)设三位自然数s=100+10x + y(1≤ x ≤ 9,1≤y≤9, ,x y 为自然数) ,且x<y .交换其个位与十位上的数字得到新数s’,若19s+8s’=3888,那么我们称s

想成真数,求所有梦想成真数K (s )的最大值.

【答案】(1)证明见解析;(2)所有梦想成真数K(s)的最大值为-17.

【解析】分析:(1)根据案例找出t变化后得到的新数,验证后即可得出

t幸福美满数.进而即可得出
(2)根据题意找出结合 即可得出根据即可得出的可能值,进而可找出s幸福美满数的值,取其最大值即可.

详解:(1)证明:按上述方法可得新数

|n+2n0|=3n,|n+2×0n|=0,0<3n

t幸福美满数”.

(2)根据题意得:

19s+8s′=3888,

19×(100+10x+y)+8×(100+10y+x)=3888,即2x+y=12.

x=2,y=8;x=3,y=6.

s=128s=136.

128128幸福美满数”,136316136幸福美满数”,

K(s)=55、1725.

∴所有梦想成真数K(s)的最大值为17.

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