题目内容
【题目】一个三位自然数m,将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0 的新三位自然数 m’( m’可以与m相同),记m’=,在 m’ 所有的可能情况中,当|a+2b-c| 最小时,我们称此时的m’ 是m 的“幸福美满数”,并规定K (m) = a2 +2b2 -c2.例如:318按上述方法可得新数有:381、813 、138 ;因为|3+2
8-1|= 18 ,|8+ 2
1-3|=7,|1 +2
3-8|=1,1< 7<18 ,所以138 是318的“幸福美满数”,K(318)=|12+2
32-82|=-45.
(1)若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n(1≤n ≤ 9 ,n为自然数),个位上的数字为0 ,求证:K (t )= 0;
(2)设三位自然数s=100+10x + y(1≤ x ≤ 9,1≤y≤9, ,x y 为自然数) ,且x<y .交换其个位与十位上的数字得到新数s’,若19s+8s’=3888,那么我们称s为“梦
想成真数”,求所有“梦想成真数”中K (s )的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)所有“梦想成真数”中K(s)的最大值为-17.
【解析】分析:(1)根据案例找出t变化后得到的新数,验证后即可得出
是t的“幸福美满数”.进而即可得出
(2)根据题意找出结合
即可得出
根据
即可得出
的可能值,进而可找出s的“幸福美满数”和
的值,取其最大值即可.
详解:(1)证明:按上述方法可得新数
,
∵|n+2n0|=3n,|n+2×0n|=0,0<3n,
∴是t的“幸福美满数”.
∴
(2)根据题意得:
∵19s+8s′=3888,
∴19×(100+10x+y)+8×(100+10y+x)=3888,即2x+y=12.
∵
∴x=2,y=8;x=3,y=6.
∴s=128或s=136.
∵128是128的“幸福美满数”,136和316是136的“幸福美满数”,
∴K(s)=55、17或25.
∴所有“梦想成真数”中K(s)的最大值为17.
