题目内容
【题目】已知抛物线与
轴只有一个交点,以下四个结论:①抛物线的对称轴在
轴左侧;②关于
的方程
有实数根;③
;④
的最大值为1.其中结论正确的为( )
A.①②③B.③④C.①③D.①③④
【答案】D
【解析】
根据 ,可知
<0可以判断①,再由抛物线与
轴只有一个交点,可得抛物线大致的图象,根据二次函数的判别式为0,来计算出新方程的判别式即可得到方程根的情况,从而判断②.由x=1,x=-1应的函数值可以判断③和④.
①抛物线的对称轴在y轴左侧,∵抛物线的对称轴为,∵
,∴
<0,∴①正确.②关于
的方程
有实数根抛物线,∵
与
轴只有一个交点,∴△=b-4ac=0,∴
△=b-4a(c+2)=-8a<0,∴方程无实根,∴②错误。③
,由①可知抛物线顶点在x负半轴,∴当x=1时,可知抛物线x轴上方,∴
,∴③正确。④由①x=-1时,y≥0,则有
,∴
,又∵c>0,∴
即
的最大值为1,∴④正确,故选D.

【题目】数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:如图1,将长为的铅笔
斜靠在垂直于水平桌面
的直尺
的边沿上,一端
固定在桌面上,图2是示意图.
活动一
如图3,将铅笔绕端点
顺时针旋转,
与
交于点
,当旋转至水平位置时,铅笔
的中点
与点
重合.
数学思考
(1)设,点
到
的距离
.
①用含的代数式表示:
的长是_________
,
的长是________
;
②与
的函数关系式是_____________,自变量
的取值范围是____________.
活动二
(2)①列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格.
6 | 5 | 4 | 3.5 | 3 | 2.5 | 2 | 1 | 0.5 | 0 | |
0 | 0.55 | 1.2 | 1.58 | 1.0 | 2.47 | 3 | 4.29 | 5.08 |
②描点:根据表中数值,描出①中剩余的两个点.
③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.
数学思考
(3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.