题目内容
如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D,连接BC,BC与抛物线的对称轴交于点E.
(1)求点B、点C的坐标和抛物线的对称轴;
(2)求直线BC的函数关系式;
(3)点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F.设点P的横坐标为m;用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
(1)求点B、点C的坐标和抛物线的对称轴;
(2)求直线BC的函数关系式;
(3)点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F.设点P的横坐标为m;用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
(1)在y=-x2+2x+3中,当x=0时,y=3,
∴C(0,3),
当y=0时,-x2+2x+3=0,
得x1=-1或x2=3,
∴B(3,0),
抛物线的对称轴是:x=-
=1;
(2)设直线BC的函数关系式为:y=kx+b.
把B(3,0),C(0,3)分别代入得:
,
解得:k=-1,b=3,
∴直线BC的函数关系式为:y=-x+3;
(3)在y=-x2+2x+3中,当x=1时,y=4,
∴D(1,4),
当x=1时,y=-1+3=2,
∴E(1,2).
当x=m时,y=-m+3,
∴P(m,-m+3).
当x=m时,y=-m2+2m+3,
∴F(m,-m2+2m+3),
∴线段DE=4-2=2,线段PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,
∵PF∥DE,
∴当PF=ED时,四边形PEDF为平行四边形,
由-m2+3m=2,解得:m1=2,m2=1(不合题意,舍去).
则当m=2时,四边形PEDF为平行四边形.
∴C(0,3),
当y=0时,-x2+2x+3=0,
得x1=-1或x2=3,
∴B(3,0),
抛物线的对称轴是:x=-
b |
2a |
(2)设直线BC的函数关系式为:y=kx+b.
把B(3,0),C(0,3)分别代入得:
|
解得:k=-1,b=3,
∴直线BC的函数关系式为:y=-x+3;
(3)在y=-x2+2x+3中,当x=1时,y=4,
∴D(1,4),
当x=1时,y=-1+3=2,
∴E(1,2).
当x=m时,y=-m+3,
∴P(m,-m+3).
当x=m时,y=-m2+2m+3,
∴F(m,-m2+2m+3),
∴线段DE=4-2=2,线段PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,
∵PF∥DE,
∴当PF=ED时,四边形PEDF为平行四边形,
由-m2+3m=2,解得:m1=2,m2=1(不合题意,舍去).
则当m=2时,四边形PEDF为平行四边形.
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